Question

求一个次数最低且首项系数为1的多项式f(x)，满足x²+1整除f(x),x³+x²+1整除f(x)

求一个次数最低且首项系数为1的多项式f(x)，满足x²+1整除f(x),x³+x²+1整除f(x)+1

Answer 1

好多年没碰高等代数了，，，，

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先说一下，a^b表示a的b次方。
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先证明一下f(x)不能是三次。
注意到，f(x)若是三次，那么f(x)+1也是三次。
容易证明，当f(x)+1=x^3+ax^2+bx+c的系数与x^3+x^2+1系数不完全相同时，它们是互素的。

证明如下：列带余数长除法
f(x)+1=x^3+ax^2+bx+c=(x^3+x^2+1)+((a-1)x^2+bx+(c-1))
当a-1≠0时，余式不为零，此时一定不整除。
因而只有a=1，b=0，c=1，也就是说，
f(x)+1=x^3+x^2+1
此时f(x)=x^3+x^2=x^2(x+1)，显然，它不被x^2+1整除。
实际上：
f(x)=x^3+x^2=(x^2+1)(x+1)+(-x-1)，有余式，不整除。
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因而，f(x)至少4次。
下面来找出一个四次多项式。
x^2+1|f(x)
因而，当x^2+1=0时，一定有f(x)=0
因而，在复数域中，±i是f(x)的两个根。
也就是说，f(i)=f(-i)=0
而f(x)+1=(x^3+x^2+1)g(x)
将x=i和x=-i代入上面的方程：
f(i)+1=(i^3+i^2+1)g(i)
f(-i)+1=(-i^3+i^2+1)g(-i)
化简：
0+1=-ig(i)
0+1=ig(i)
再化简：
g(i)=i
g(-i)=-i
要使得f(x)次数最低，那么g(x)尽量为一次多项式。
那么将g(x)当做一个一次函数来对待：它过两个点（i，i），（-i，-i）
余式取g(x)=x即可。
此时，
f(x)+1=(x^3+x^2+1)g(x)=(x^3+x^2+1)x=x^4+x^3+x
因而，f(x)=x^4+x^3+x-1
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验证：
f(x)=x^4+x^3+x-1=(x^2+1)(x^2+x-1)
f(x)+1=x^4+x^3+x=x(x^3+x^2+1)
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Answer 2

不就是x^3+x^2吗？