Question

高中数列。。。。。

Answer 1

1.
Sn=2·(2ⁿ-1)/(2-1) +n²=2ⁿ⁺¹+n²-2
选C
用到的公式：Sn=a1(qⁿ-1)/(q-1)；1+3+...+(2n-1)=n²
2.
an=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
S5=1-1/2+1/2-1/3+...+1/5-1/6=1 -1/6=5/6
选B
3.
Tn=½+ 2/4+3/8+...+n/2ⁿ
½Tn=1/4+2/8+...+(n-1)/2ⁿ+ n/2ⁿ⁺¹
Tn-½Tn=½Tn=½+¼+...+1/2ⁿ -n/2ⁿ⁺¹
Tn=1+½+...+1/2ⁿ⁻¹-n/2ⁿ
=1·(1-½ⁿ)/(1-½)-n/2ⁿ
=(2ⁿ⁺¹-n-2)/2ⁿ
选B
4.
Tn=(1+2+...+n)+½·(1-½ⁿ)/(1-½)
=n(n+1)/2 +1 -½ⁿ
5.
Sn=1·2+2·2²+3·2³+...+n·2ⁿ
2Sn=1·2²+2·2³+...+(n-1)·2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+...+2ⁿ-n·2ⁿ⁺¹
=2·(2ⁿ-1)/(2-1) -n·2ⁿ⁺¹
=(1-n)·2ⁿ⁺¹-2
Sn=(n-1)·2ⁿ⁺¹+2
6.
F(1)=0；F(2)=1，F(3)=1；F(4)至F(7)=2；…………
将下标分组：
(1)，(2，3)，(4，5，6，7)，…………，(……，1023)，(1024)
共11组，除了最后一组外，第n组有2ⁿ⁻¹个数，每个数都等于组号-1。
第n组：(n-1)·2ⁿ⁻¹
最后一个数：F(1024)=log2(2^10)=10
F(1)+F(2)+...+F(1023)+F(1024)
=0·1+1·2+2·2²+...+9·2⁹+10
令Tn=1·2+2·2²+...+9·2⁹
则2Tn=1·2²+2·2³+...+8·2⁹+9·2¹⁰
Tn-2Tn=-Tn=2+2²+...+2⁹-9·2¹⁰
=2·(2⁹-1)/(2-1) -9·2¹⁰
=-8·2¹⁰-2
Tn=8·2¹⁰+2=8194
F(1)+F(2)+...+F(1023)+F(1024)=Tn+F(2014)=8194+10=8204
选A
7.
an=1/[√(n+1)+√n]=√(n+1)-√n
Sn=a1+a2+...+an=√2-√1+√3-√2+...+√(n+1)-√n=√(n+1)-1
令√(n+1)-1=6
√(n+1)=7
n+1=49
n=48
选C
8.
y=3x+2，斜率k=3
f'(x)=2x+b
令x=1，f'(x)=3，解得b=1
f(x)=x²+x
1/f(n)=1/(n²+n)=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
S2012=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/2012-1/2013
=1- 1/2013
=2012/2013
选D