Question

高等数学导数定义，这个题如何凑导数定义？

Answer 1

我来举个简单的例子，举个符合条件的分段函数
f（x）=x+1（x≠0）；0（x=0）
这个分段函数在x≠0的情况下下，函数表达式是x+1，在x=0的情况下，函数值是0
很明显，在x=0这点不连续，所以不可导。
但是lim（h→0）[f（2h）-f（h）]/h
=lim（h→0）[（2h+1）-（h+1）]/h
=lim（h→0）h/h
=1 这个极限存在
所以不能保证可导。

追答

这样的式子对于x=0点是可去间断点的情况下，也是有极限的。但是可去间断点也是间断点，也是不可导的。

追问

这个题能不能凑导数定义啊

能不能凑？

追答

lim（h→0）[f（2h）-f（h）0]/h
=lim（h→0）[f（2h）-f（0）+f（0）-f（h）]/h
=lim（h→0）[f（2h）-f（0）]/h+lim（h→0）[f（0）-f（h）]/h
这样分解后，lim（h→0）[f（2h）-f（0）]/h=2*lim（2h→0）[f（2h）-f（0）]/2h是导数的定义公式的两倍。
lim（h→0）[f（0）-f（h）]/h=-lim（h→0）[f（h）-f（0）]/h是导数的定义公式的相反数。
目前就是说，当h→0的时候，[f（2h）-f（0）]/h和[f（0）-f（h）]/h两个式子的和是存在极限的。需要问，是不是这两个式子本身也是存在极限的。
我们知道，两个式子存在极限，那么和也存在极限。但是反过来和存在极限，两个式子不一定存在极限。
lim（h→0）[f（2h）-f（h）0]/h
=lim（h→0）[f（2h）-f（0）+f（0）-f（h）]/h
=lim（h→0）[f（2h）-f（0）]/h+lim（h→0）[f（0）-f（h）]/h
这个等式成立的基础就是必须要lim（h→0）[f（2h）-f（0）]/h和lim（h→0）[f（0）-f（h）]/h都有极限才行。
所以lim（h→0）[f（2h）-f（h）0]/h有极限不能保证lim（h→0）[f（2h）-f（0）]/h和lim（h→0）[f（0）-f（h）]/h都有极限。
所以才有我举的例子，满足题目要求，但是不可导的情况出现。

追问

擦，膝盖给你吧…

Answer 2

既然你都知道不能确定可导了，那就说明凑不出来了啊。

Answer 3

我居然忘记了什么是导数定义

Answer 4

f连续性知道吗

追答

就是f是连续的，可以举出反例f=绝对值x在0处不可导

追问

连续性没有给出，我想知道，怎么通过导数定义凑处它是不成立的

追答

f连续性没有，所以。。。