Question

问一个解析几何的题，求过程，答案是（根号5-1）/4

Answer 1

解答如下：
双曲线参数，以及a＞0说明a＞1，双曲线定点A（0，1）
设点P（x',-x'），x'＜0，带入双曲线方程解得x'=-a，点P坐标（-a，a）
设M点坐标为（0，b+1），则抛物线准线与y轴交点N坐标为（0,2b+1）
AP=2b+1-a，√（a²+（a-1）²）=2b+1-a，b=(√（a²+（a-1）²）+a-1)/2
PM斜率k=√（1+（1-1/a）²）/2+1/2a-1/2（过程省略）
双曲线渐近线斜率取大于零的数值，（a²-1)/a∈[√3/2,2√2/3]
（a²-1）/a²∈[3/4,8/9],a＞0解得a∈[2,3]
令t=1-1/a，t∈[1/2,2/3]，k=（√（1+t²）-t）/2=1/（2√（1+t²）+2t）(斜率简化过程省略，最后一步采用分子有理化)
√5+1≤2√（1+t²）+2t≤2（√13+2）/3
（√13-2）/6≤k≤（√5-1）/4

故，PM斜率k最大值为（√5-1）/4，最小值为（√13-2）/6