Question

数学 高考题

数学 高考题已知f(x)是一奇函数，在x＝0处有意义，在区间(0,∞)上单调递增，求证：f(x)在区间(－∞,∞)上单调递增。

Answer 1

证明：因为函数是奇函数，因此 f(-0) = -f(0)，所以 f(0) = 0 ，
设 x1 < x2 ，以下分三种情况：
（1）如果 0 ≤ x1 < x2 ，由已知，显然有 f(x1) < f(x2) ；
（2）如果 x1 < x2 ≤ 0 ，则 f(x1) - f(x2) = -f(-x1) - [-f(-x2)] = f(-x2) - f(-x1) ，
因为 x1 < x2 ≤ 0 ，因此 -x1 > -x2 ≥ 0 ，由已知 f(-x1) > f(-x2) ，
所以 f(-x2) - f(-x1) < 0 ，因此得 f(x1) < f(x2) ；
（3）x1 < 0 < x2 ，由（1）（2）可知 f(x1) < f(0) < f(x2) ；
综上，对任意 x1 < x2 ，总有 f(x1) < f(x2) ，因此函数在 R 上为增函数。

追问

（1）中的证明默认了f(x)在［0,∞）上单调递增，但是已知条件只给了f(x)在（0,∞）上单调递增！

也就是说你少证了，x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，这一步！这一步是怎么证的？

追答