Question

证明:lim f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左右极限均存在且等于a

证明:lim f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左右极限均存在且等于a

Answer 1

充分性:
设lim(x→x0-)f(x)=a,根据极限的定义
对任意E>0,存在δ>0,当x0-δ<x<x0时,
|f(x)-a|<E
同理,当x0<x<x0+δ时,
|f(x)-a|<E
于是对任意x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ),|f(x)-a|<E都成立.
即当0<|x-x0|<δ时|f(x)-a|<E,∴lim(x→x0)f(x)=a

必要性:
设lim(x→x0)f(x)=a,则对任意E>0,存在δ>0,当0<|x-x0|<δ时
|f(x)-a|<E
而当x0-δ<x<x0时,必有0<|x-x0|<δ
故|f(x)-a|<E仍成立.∴lim(x→x0-)f(x)=a
同理可证lim(x→x0+)f(x)=a
∴左右极限等