Question

怎么证明任意3个数的算术平均数恒大于等于它们的几何平均数

Answer 1

这个结论有个条件，就是所说的任意数要大于等于0 ，否则结论不能成立。

设原数 a=x³ b=y³ c=z³
原数的算术平均数=(x³+y³+z³)/3
原数的几何平均数=xyz
原数的算术平均数 － 原数的几何平均数
=(x³+y³+z³)/3 - xyz
=1/3(x³+y³+z³-3xyz)
=1/3{[( x+y)³-3x²y-3xy²]+z³-3xyz}
=1/3{[(x+y)³+z³]-(3x²y+3xy²+3xyz)}
=1/3{(x+y+z)[(x+y)²-(x+y)z+z²]-3xy(x+y+z)}
=1/3{(x+y+z)(x²+y²+2xy-xz-yz+z²)-3xy(x+y+z)}
=1/3{(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)}
=1/6{(x+y+z)[(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²]}
因为(x-y)² 、(y-z)²、 (x-z)² 大于等于0 ，x 、y、z大于等于0
(x+y+z)也大于等于0
所以，原数的算术平均数大于等于原数的几何平均数