Question

n个数的几何平均数小于等于它的算术平均数，详细证明过程

Answer 1

用数学归纳法证
n个非负数a1，a2，…，an的几何平均数是
(a1a2…an)1/n

算术平均数是
(a1+a2+…an)/n

证明：
(a1a2…an)1/n<=(a1+a2+…an)/n

证明 当n=1的时候，(1)式不证自明．如果a1，a2，…，an里有一个等于0，(1)式也不证自明．
现在假设
0＜a1≤a2≤…≤an．
如果a1=an，那末所有的aj(j=1，2，…，n)都相等，(1)式也就不证自明．所以我们进一步假设a1＜an，并且假设
(a1a2…an)1/n<=(a1+a2+…an)/n 成立

(a1+a2+…an+1)/(n+1)=n/n*((a1+a2+…an)/(n+1)
=(a1+a2+…an)/n-(an+1-(a1+a2+…an)/n)/n+1

把等式两边都乘方n(n＞1)次，并且由
(a+b)n＞an+nan-1b，(a＞0，b＞0) （证明）
由二项式定理可知
(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n.
由C(a,b)=a!/（b!(a-b)!），把a=n,b=1代入，得
C(n,1)a^(n-1)b=an+nan-1b
所以
(a+b)n＞an+nan-1b，(a＞0，b＞0)
可知
（(a1+a2+…an+1)/n+1）n+1＞（(a1+a2+…an)/n）n+1+（n+1）* （ (a1+a2+…an)/n ）n (an+1-(a1+a2+…an)/n)/n+1= an+1 （(a1+a2+…an)/n）n＞=a1a2…an*an+1
定理得证．