Question

设函数f(x)在[0,2]连续且可导,且f(2)=∫f(x)dx,上限1下限0,证明:在(0,2)上至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=0

证明题求步骤,谢谢

Answer 1

解答：证明：作辅助函数：F（x）=（ex-1）f（x），则F（x）在[0，1]连续，在（0，1）可导，且F（0）=F（1）=0，又由[∫3414exf（x）dx-∫3414f（x）dx]=0，得：∫3414F(x)dx＝0，∴由积分中值定理知：F（x）在(14，34)之间必有一个零点η，即：F（η）=0，于是有：F（0）=F（1）=F（η）=0，从而由罗尔定理知，?ξ1∈（0，η），?ξ2∈（η，1），使得：F′（ξ1）=F′（ξ2）=0，又：F′（x）=exf（x）+（ex-1）f′（x）=ex[f（x）+（1-e-x）f′（x）]而ex＞0恒成立，∴要使F′（ζ）=0必有：f（ζ）+（1-e-ζ）f′（ζ）=0，从而：ξ1和ξ2是f（x）+（1-e-x）f'（x）=0的两个根，证毕．

Answer 2

解：局特立法
f(x)=kx+m，k/=0
kxdx=1/2kx^2+mx/1 0
=1/2k+m=1/2k+m=f(2)=2k+m
1/2k=2k
k=4k
0=3k
3k=0
k=0
f(x)=m
m:R。
f(x)在[0,2]上连续且可道。
f'=0。
在(0,2)上存在无数多个柯西，使得f'(可惜）=0
令x0=1,f'(x0)=0。
存在一个x0,至少存在一个x0。
因为3∫f(x)dx=3f（k)(1-2/3)=f(k)其中k∈(2/3,1)(这里用的是定积分的中值定理）
所以f(0)=f(k)
故根据罗尔定理,可知道,在（0,k）上存在一点c使得,f‘（c）=0
因此在（0,1）内至少存在一点C使f’（C）＝0
f(2)=∫f(x)dx,
f(2)=∫f(x)dx=f(k)(2-0)=2f(k),k属于（0，2）。（积分中值定理）
f(2)=2f(k),