Question

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明：

Answer 1

令g(x)=f(x)-x，则g(0)=0，g(1/2)=-1/2，g(1)=0，根据介值定理，存在a∈(0,1/2)，使得g(a)=-1/4，存在b∈(1/2,1)，使得g(b)=-1/4。再根据罗尔中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ)=0，也就是f'(ξ)=1。

Answer 2

注意（η²+η）'=2η+1，与（2）结果形式一致。
（1）根据连续性。
f(η)=η²+η，可以看成两个函数y=f(x),与y=g(x)=x²+x的交点。定义函数h(x)=f(x)-g(x),h在[0,1]连续，可导。
h(0)=f(0)-g(0)=0,h(1/2)=f(1/2)-g(1/2)=1-(1/4+1/2)=1/4,h(1)=f(1)-g(1)=0-2=-2
根据连续性，在{1/2,1)内，函数h必然过0点，设其0点的x坐标为η
h(η)=f(η)-g(η)=0,f(η)=g(η)=η²+η
(2)用中值定理
在[0,η],h(0)=0,h(η)=0,必然有ξ∈(0,η),使得h'(ξ)=0
h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-(2x+1)
h'(ξ)=f'(ξ)-(2ξ+1)=0,
f'(ξ)=2ξ+1

Answer 3

如图

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