Question

考研数学一元函数微分，如图

Answer 1

证明：

不失一般性，令：x1<x2，且x1,x2∈(0,+∞)，
根据题意可知，在区间(0,x1)上满足拉格朗日中值定理，使得：
∃ξ1∈(0,x1)，则：
f(x1)-f(0) = f'(ξ1)·（x1-0）
即：
f(x1)=x1·f'(ξ1)
同理：
∃ξ2∈(x2,x1+x2)，则：
f(x1+x2)-f(x2) = f'(ξ2)· （x1+x2-x2）
即：
f(x1+x2)-f(x2) = x1·f'(ξ2)
又因为：
f''(x) < 0
因此：
当ξ1< ξ2时，f'(ξ1) > f'(ξ2)
即：
f(x1) > f(x1+x2)-f(x2)
因此：
f(x1+x2) < f(x1)+f(x2)
当x1>x2时，只需变换一下区间即可，同理可证上式也成立！
当x1=x2时，考查区间（0,x1）和（x1,2x1），同理可证上述不等式也成立！
证毕！

Answer 2

ic figure. When a small girl read in her history book t