Question

中值定理与一元函数微分学的应用，考研数学求解

请问如何构造辅助函数，构造该辅助函数的思路应该怎么想

Answer 1

首先要看到f(0)=0, f'(0)=1, 然后应该要想到对函数g(x)=f'(x)-f(x)+x用Rolle定理, 或者说验证这个函数不严格单调
为了简化一下记号, 可以定义h(x)=f(x)-x, 那么h(0)=h'(0)=h(1)=0, 目标化为证明g(x)=h'(x)-h(x)不严格单调
由于g(0)=0, g严格单调的必要条件是在(0,1]中g(x)恒不为0, 那么目标可以归结为找一个0<t<=1使得g(t)=0, 这样就得到一个同类型但是更简单的问题
然后构造p(x)=e^{-x}h(x), 那么p'(x)=e^{-x}g(x), p(0)=p(1)=0, 所以存在0<t<1使得p'(t)=0, 即g(t)=0
到这里目标达到了, 书写证明的时候可以把前面的思路隐掉, 继续写g(0)=0, g(t)=0, 一定存在0<s<t使得g'(s)=0, 也就是f''(s)-f'(s)+1=0.