Question

求高手解答

Answer 1

首先，F(x) 可以无限小

（其中，T 可以随意取值）

T 取值越大，F(x) 就越小（或者越负）

但是，T 可以取得无限大，F(x) 相应就可以无限小；

因此，F(x) 没有最小，也就不存在 f(x) 使得 F(x) 最小

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解析：

hm是常数，因此 Q 越大，F(x) 就越小

2πQ ＝ 上面这个积分式 ＝ f(x) 从 0 到 m 的图像绕x轴 [360度旋转体的表面积]

因此，表面积越大，Q就越大，F(x) 就越小

所以，我们要找一个 f(x)，使它在 0 到 m 的旋转表面积最大

为此，我们可以考虑抛物线： f(x) = ax^2 + bx + c

因为 

f(0) = p

f(m) = 0

所以，抛物线过点 (0, p) 和 (m, 0)

设抛物线上的第三个点为 (m/2, T)，则可以联立 a, b, c 的方程组：

c=p

am^2+bm+c=0

(am^2)/4+bm/2+c=T

解得：

a = 2(p - 2T)/(m^2)

b = (4T - 3p)/m

所以，

当 T 越大，抛物线顶点越高，旋转表面积就越大，因此 Q 就越大，F(x) 就越小

因此 T 越大，F(x) 越小

横轴是 x，纵轴是 h-f(x)sqrt(1+[f'(x)]^2)

所以 F(x) = －(从横轴到函数图像的面积)

假设 h=m=p=1,

可以看到，T 越大，面积就越大，F(x) 就越小，

由此证明，F(x) 可以无限小

追问

别的都没问题，就是那个表面积的不明白，表面积不应该是2pif(x)dx吗？但函数是2pif(x)ds

追答

表面积确实是：2π f(x)ds
至于为什么最后不是 dx，请见以下链接：
http://www.zybang.com/question/1ff579a2069f69b5618f8998763d0305.html