初值问题qwq求过程
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(1)
dy/dx=y²+1
分离变量
dy/(y²+1)=dx
两边同时积分得
arctany=x+C
y(1)=0
所以
0=1+C
C=-1
得arctany=x-1
(2)
dy/dx=e^(x-y)=e^x/e^y
分离变量得
e^y dy=e^x dx
两边同时积分得
e^y=e^x+C
y(0)=1
所以
e=1+C
C=e-1
得e^y=e^x + e-1
(3)
dy/dx=(2x+1)/2(y-1)
分离变量得
2(y-1)dy=(2x+1)dx
两边同时积分得
y²-2y=x²+x+C
y(0)=-1
所以
1+2=C
C=3
得y²-2y=x²+x+3
(4)
yy'+xe^y=0
ydy/dx+xe^y=0
ydy/dx=-xe^y
分离变量得
ydy/e^y=-xdx
ye^(-y)dy=-xdx
左边运用分部积分
∫ye^(-y)dy
=-∫yd[e^(-y)]
=-[ye^(-y)-∫e^(-y)dy]
=-ye^(-y)-e^(-y)
右边积分得
-x²/2
所以两边积分得
-ye^(-y)-e^(-y)=-x²/2+C
y(1)=0
所以
-1=-1/2+C
C=-1/2
得-ye^(-y)-e^(-y)=-x²/2-1/2
ye^(-y)+e^(-y)=(x²+1)/2
dy/dx=y²+1
分离变量
dy/(y²+1)=dx
两边同时积分得
arctany=x+C
y(1)=0
所以
0=1+C
C=-1
得arctany=x-1
(2)
dy/dx=e^(x-y)=e^x/e^y
分离变量得
e^y dy=e^x dx
两边同时积分得
e^y=e^x+C
y(0)=1
所以
e=1+C
C=e-1
得e^y=e^x + e-1
(3)
dy/dx=(2x+1)/2(y-1)
分离变量得
2(y-1)dy=(2x+1)dx
两边同时积分得
y²-2y=x²+x+C
y(0)=-1
所以
1+2=C
C=3
得y²-2y=x²+x+3
(4)
yy'+xe^y=0
ydy/dx+xe^y=0
ydy/dx=-xe^y
分离变量得
ydy/e^y=-xdx
ye^(-y)dy=-xdx
左边运用分部积分
∫ye^(-y)dy
=-∫yd[e^(-y)]
=-[ye^(-y)-∫e^(-y)dy]
=-ye^(-y)-e^(-y)
右边积分得
-x²/2
所以两边积分得
-ye^(-y)-e^(-y)=-x²/2+C
y(1)=0
所以
-1=-1/2+C
C=-1/2
得-ye^(-y)-e^(-y)=-x²/2-1/2
ye^(-y)+e^(-y)=(x²+1)/2
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