Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC = 3∠C，∠1 =∠2，BE⊥AE．求证：AC – AB = 2BE．

已知：如图，在△ABC中，∠ABC = 3∠C，∠1 =∠2，BE⊥AE．求证：AC – AB = 2BE．

Answer 1

证明：
在AC上取一点D，使得角DBC=角C
因为角ABC=3角C
所以，角ABD=角ABC-角DBC=3∠C-∠C=2∠C；
因为，角ADB=角C+角DBC=2∠C;
所以，AB=AD
所以，AC – AB =AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，
所以AE垂直BD
又因为，BE⊥AE
所以，点E一定在直线BD上，
又，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD
所以，点E也是BD的中点
所以，BD=2BE
又因为BD=CD=AC-AB
所以，AC-AB=2BE

Answer 2

∠BAC=180-（∠ABC+∠C）=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C
∠ABE=90-∠1=2∠C
延长BE交AC于F
因为，∠1 =∠2，BE⊥AE
所以，△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE

∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF

AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE

Answer 3

延长BE交AC与D,因为∠1 =∠2,BE⊥AE,所以△ABD是等腰直角三角形，AB=AD。
∠ADB=∠ABD,∠ADB=∠C+∠DBC，3∠C=2∠DBC+∠C,所以∠C=∠DBC,BD=DC,BE=1/2DB,AC-AB=AC-AD=DC,DC=2BE,所以AC – AB = 2BE．

Answer 4

证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB=180°，
∴∠3=90°-∠1
同理，∠4=90°-∠2
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AB=AM
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE，
∴AC-AB=AC-AM=CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4=∠5+∠C
∵∠ABC=3∠C，∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C
∴∠5=∠C
∴CM=BM
∴AC-AB=BM=2BE

Answer 5

这么简单的题给100分，我做5道非常难的题才给80分。