Question

有理分式的积分

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Answer 1

aa^T显然是对称阵，且有n-1个特征值0，和1个非0特征值是1（因为单位向量a，满足迹tr(aa^T)=1）
因此根据特征值的定义，得知必有|E-aa^T|=0，从而立即选A

如果不懂特征值的性质，也可以用排除法来做这道题：

a为单位列向量，则不妨设a=(0,...,1,0,...,0)^T

则aa^T只有在对角线上有个1，其余元素都为0

从而|E-aa^T|=0 （E-aa^T是对角阵，且对角线上有一个元素为0）

E-aa^T不可逆

而
E+aa^T也是对角阵，但对角线上有个元素是2，其余都是1，因此|E+aa^T|=2，E+aa^T可逆

类似的，得知
E+2aa^T可逆
E-2aa^T可逆

Answer 2

(5)
∫ (x^3+1)/(x^3-x) dx
= ∫[ 1 - (x-1)/(x^3 -x ) ] dx
= ∫[ 1 - 1/x + 1/(x+1) ] dx
= x + ln|(x+1)/x| +C
let
(x-1)/(x^3 -x )≡ A/x +B/(x-1) +C/(x+1)
=>
x-1≡ A(x-1)(x+1) +Bx(x+1) +Cx(x-1)
x=0, =>A=1
x=1, =>B=0
x=-1, =>C=-1

(7)
∫ x/[(x^2+1)(x^2+4)] dx
=(1/3) ∫ [ x/(x^2+1) - x/(x^2+4) ] dx
=(1/6) ln|(x^2+1)/(x^2+4) | +C