Question

求问一道高数定积分物理应用的题：

求问一道高数定积分物理应用的题：一潜艇的窗户是a为半长轴b为半短轴的椭圆，当潜艇下潜h深时（h是窗户中心到水面的距离）。分别求窗户竖直时和倾斜（给出夹角）时，水对窗户的压力。

我自己用定积分元素法算出来竖直时是椭圆面积*密度*重力加速度*h，第二问是第一问答案乘个cos夹角。
而且物理上，规则图形不是可以直接面积乘压强，且方向垂直接触面吗？所以第一问符合，第二问用定积分元素法算出来之所以小，是因为那样算出来是水平分量，物理公式算出来直接是斜向下的压力，大小不变。
可是老师说我的不对。
跪求大神解答，我实在想不出来。

Answer 1

那个 dx 明显是 dy 之误，你就不要纠结了。
用 y 计算面积方便简洁。如果用 x 计算，需要对区间进行分段，麻烦。
当然用 y 时就要用反函数表示了。

Answer 2

F(x)=∫x³√(1+4x²)dx
=(1/32)·∫[(1+4x²)-1]√(1+4x²)d(1+4x²)
=(1/32)·[(1/2)(1+4x²)²-(2/3)(1+4x²)^(3/2)]+C
∴原式=F(√2)-F(0)=(45/2+1/6)/32=17/24。