Question

已知，倾斜椭圆方程，如何求离心率。

已知，倾斜椭圆方程，如何求离心率。例如最上面那一行

Answer 1

求椭圆 3x'²-2(√3)x'y'+5y'²-1=0的离心率。
解：令x'=xcosα-ysinα； y'=xsinα+ycosα；代入原式得：
3(xcosα-ysinα)²-(2√3)(xcosα-ysinα)(xsinα+ycosα)+5(xsinα+ycosα)²-1=0；
展开整理得：
[3cos²α+5sin²α-2(√3)sinαcosα]x²+[3sin²α+5cos²α-(2√3)sinαcosα)]y²-1
+[4sinαcosα+(2√3)sin²α-(2√3)cos²α]xy=0............①
为了消去xy项，令4cosαsinα+(2√3)sin²α-(2√3)cos²α=2sin2α+(2√3)cos2α=0
于是得tan2α=-√3，故得2α=π-π/3=2π/3；∴α=π/3；
即将坐标轴按顺时针方向旋转π/3就能消去交叉项xy,将α=π/3代入①式，于是原方程变
成了：(3/4+15/4-3/2)x²+(9/4+5/4-3/2)y²-1=0
即有 3x²+2y²=1；即x²/(1/3)+y²/(1/2)=1；这就是该椭圆的标准方程；由此可知：
a²=1/2，b²=1/3，c²=1/2-1/3=1/6；故离心率e=c/a=√(1/3).