Question

为什么f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数时，f(x)关于（1，0）中心对称？

为什么f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数时，f(x)关于（1，0）中心对称？如题

Answer 1

f(x+1)是奇函数，那么f(x+1)就关于原点对称，因为f(x)的图像是由f(x+1)的图像向右平移一个单位得到的，所以f(x)的图像就关于（1,0）对称

Answer 2

设g（x）=f（x+1），h（x）=f（x-1）
依题意知：g（x）和h（x）为奇函数
所以g（-x）+g（x）=f（x+1）+f（-x+1）=0……（1）
h（-x）+h（x）=f（x-1）+f（-x-1）=0……（2）
设f（x）上任意一点（a，b）关于（1，0）的对称点（h，k）
b=f（a）
h=2-a，k=-f（a）
需要证明k=f（h）=-f（a）=f（2-a）
及f（a）+f（2-a）=0……（3）
设x+1=a，x=a-1，-x+1=-（a-1）+1=2-a
由（1）知：f（a）+f（2-a）=0，所以（3）式成立
那么说明f（x）上的任意一点（a，b）关于（1，0）的对称点（h，k）也在函数y=f（x）上
即f(x)关于（1，0）中心对称