Question

这道定积分这样换区间为啥做不出来？

Answer 1

你没有注意反正弦函数y=arcsinx的定义域是-1≦x≦1;  值域是-π/2≦y≦π/2；

当令sinx=t时；由于积分限是[0，π]；因此要分两段积分：

当x∈[0，π/2]时：x=arcsint；dx=dt/√(1-t²)；x=0时t=0，x=π/2时t=1;

当π/2≦x≦π时,：x=π-arcsint；dx=-dt/√(1-t²)；x=π/2时t=1；x=π时t=0; 

追问

是不是因为t和sinx不是线性关系 所以转换的时候会出错？

两个成线性关系的转换就没问题

追答

不是线性与非线性问题啊！是你没注意反三角函数
的定义域和值域。当0≦x≦π时，t=sinx，x=arcsint，
只适用于0≦x≦π/2；当π/2≦x≦π时,x=π-arcsint；
x=arcsint时dx=dt/√(1-t²)；x=π-arcsint时,
dx=-dt/√(1-t²)；没加区分，就是你犯的错误。

追问

不好意思老师 我又做到这个题 选择另一种方法 发现还是算不对 这次我把值域考虑进去了 答案还是不对 哪里错了呢？

老师 我知道了 cos提出来有负号……

Answer 2

如图，仅供参考。

追问

t为什么不是0 0

追答

把0到π区间分成两部分0到π/2和π/2到π

追问

我那样换哪里有问题吗？

追答

换元没有错，t的范围有错

追问

为啥错了呢

追答

t是sinx的值域

Answer 3

如图所示

Answer 4

不用转换的。
√[sinx - (sinx)^3] = √[sinx(1-sin²x)] = √sinx * |cosx|，
原式 = 2∫(0→π/2)√sinx d(sinx)
=4/3 (sinx)^(3/2) | (0→π/2)
=4/3

追问

我换的哪里有问题吗？

追答

没有，d(arcsint)＝1/√(1 - t²) dt，代入得 √t dt