已知圆O的半径为R，它的内接三角形ABC中，2R(sin^2·A-sin^2·C)=(根号2a-b)sinB成立
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①
∵ 2R(sin²A-sin²C)=（√2a-b)sinB,
又∵a/sinA=2R,b/sinB=2R,c/sinC=2R,
∴原式变成 a×sinA-c×sinC=√2a×sinB-b×sinB
∴a×sinA-c×sinC+b×sinB=√2a×sinB
式子两边同乘以2R，则原式变为
a²+b²-c²=√2ab
∴c²=a²+b²-√2ab
又∵c²=a²+b²-2ab×cosC,
∴-√2ab=-2ab×cosC
∴-√2=-2×cosC
∴cosC=√2/2
∴C=45°
②
S△ABC=1/2ab×sinC
∴若求面积最大值，即为求ab最大值
在圆中最长径为直径2R，所以ab中必有一边为2R，
以圆的直径为一边的三角形是RT△，
总之，你可以解这个△了，很简单，不必在写，
最后求得面积为 R²。
∵ 2R(sin²A-sin²C)=（√2a-b)sinB,
又∵a/sinA=2R,b/sinB=2R,c/sinC=2R,
∴原式变成 a×sinA-c×sinC=√2a×sinB-b×sinB
∴a×sinA-c×sinC+b×sinB=√2a×sinB
式子两边同乘以2R，则原式变为
a²+b²-c²=√2ab
∴c²=a²+b²-√2ab
又∵c²=a²+b²-2ab×cosC,
∴-√2ab=-2ab×cosC
∴-√2=-2×cosC
∴cosC=√2/2
∴C=45°
②
S△ABC=1/2ab×sinC
∴若求面积最大值，即为求ab最大值
在圆中最长径为直径2R，所以ab中必有一边为2R，
以圆的直径为一边的三角形是RT△，
总之，你可以解这个△了，很简单，不必在写，
最后求得面积为 R²。
参考资料： http://zhidao.baidu.com/question/183186324.html
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利用正弦定理求出A,B,C的正弦和a,b,c 的关系计出三角形关于正弦的方程,即可求出最在面积.
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