Question

V是数域P上的n维线性空间，n＞1，W为V的非平凡子空间，证明：W在V的补子空间存在但不唯一。

我想问一下不唯一怎么证啊？有大神帮帮忙吗！谢谢！！

Answer 1

定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。

注：1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：

（1）子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量；

（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。

2.在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。

3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间；除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间。

追问

能看懂问题再回答吗？？

Answer 2

定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。注：1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：（1）子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量；（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。2.在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间；除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间。
定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。注：1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：（1）子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量；（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。2.在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间；除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间。

Answer 3

这个简单都不会，哎，年轻人啰