Question

高数一证明题？

高数一证明题，见图

Answer 1

解由x＞0，证明x/(1+x)ln(x+1)＜x
只需证明x＞0，证明1/(1+x)ln(x+1)＜1
即只需证明x＞0，证明ln(x+1)＜(1+x)
令t=x+1，则t＞1
即只需证明t＞1时，lnt＜t
构造函数f(t)=t-lnt
求导f'(t)=1-1/t
因为t＞1，则f'(t)=1-1/t＞0
则f(t)在t属于(1,正无穷大)递增
则f(1)=1＞0
故f(t)＞0
则t＞lnt
故x＞0时，x/(1+x)ln(x+1)＜x

Answer 2

利用拉格朗日中值定理的证法如下图：

Answer 3

Answer 4

看差的符号就行，用函数得增减性。
设y=x/（1十x）-ln（1十x）
=1-1/（1十x） -ln（1十x）

y'=1/（1十x)²-1/（1十x）=-x/ （1十x)²<0
y是减函数，y（0）=0最大，
x>0,y<0,x/（1十x）<ln（1十x）

追答

同理证后半。