Question

证明:关于x的二次方程x2-2ax+b=0(0<b<2a-1)一定有一根在0和1之间,

Answer 1

x²-2ax+b=0
0<b<2a-1
求证
该方程一定有一个根在(0,1)内，另一个根大于1.
x²-2ax+a²=a²-b,
(x-a)²=a²-b,
因为0<b<2a-1，所以-b>-2a+1，a²-b>a²-2a+1，a²-b>(a-1)²>=0，且a>1/2
所以方程有两个不相等的实数根
x1=a+√(a²-b)>a+|a-1|,x2=a-√(a²-b)<a-|a-1|,且两根均大于零,
当a>1时，x1>2a-1>1,0<x2<1;当1/2<a<1时，x1>1,0<x2<2a-1<1,
得证。

Answer 2

x²-2ax+b=0
0<b<2a-1
求证
该方程一定有一个根在(0,1)内，另一个根大于1.
x²-2ax+a²=a²-b,
(x-a)²=a²-b,
因为0<b<2a-1，所以-b>-2a+1，a²-b>a²-2a+1，a²-b>(a-1)²>=0，且a>1/2
所以方程有两个不相等的实数根
x1=a+√(a²-b)>a+|a-1|,x2=a-√(a²-b)<a-|a-1|,且两根均大于零,
当a>1时，x1>2a-1>1,0<x2<1;当1/2<a<1时，x1>1,0<x2<2a-1<1,
得证。