Question

设有关于x的一元二次方程x^2+2ax+b^2=0

（1）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后投掷2次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，求上述方程有实根的概率；（2）若a是从区间【0，3】任取的一个数，b是从区间【0，2】任取的一个数，求上述方程有实根的概率。

Answer 1

【参考答案】

（1）方程x²+2ax+b²=0有实数根，必须：
(2a)²-4b²≥0
a²≥b²
∴ a≥b>0
当a=1时，b=1；
当a=2时，b=1、2；
当a=3时，b=1、2、3；
当a=4时，b=1、2、3、4；
当a=5时，b=1、2、3、4、5；
当a=6时，b=1、2、3、4、5、6。
满足题意的a、b组合合计21组
∵ 投掷两次所得到的点数共有6×6=36种可能
∴符合要求的概率是21/36=7/12

(2)由（1）知原方程有实数根的条件是：a²≥b²即a≥b≥0
∵a∈[0,3],b∈[0,2],
∴a≤3,b≤2.
上述区域是梯形，面积=4；
矩形0≤a≤3,0≤b≤2的面积=6，
∴所求概率=4/6=2/3.

Answer 2

（1）上述方程有实根，则判别式=4a^2-4b^2>=0,又因为a,b>0,所以a>=b>0.所以a,b的组合有：（1，1）（2，1）（2，2）（3，1）（3，2）（3，3）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）共21种，上述方程有实根的概率为21/36=7/12.(2)满足a,b的组合有：（1，1）（2，1）（2，2）（3，1）（3，2），此时上述方程有实根的概率为5/36。

Answer 3

第二问的a和b都应该为整数吧，不然真的算不了。