Question

积分题目求解

Answer 1

分享一种解法，利用正态分布N(0,1)的密度函数性质求解。若X~N(0,1)，则其密度函数f(x)=Ae^(-x²/2)，其中A=1/√(2π)，x∈R。∴E(X)=∫(-∞,∞)xf(x)dx=0、D(X)=E(X²)-[E(X)]²=E(X²)=1。
而，E(X²)=∫(-∞,∞)x²f(x)dx=A∫(-∞,∞)x²e^(-x²/2)dx=2A∫(0,∞)x²e^(-x²/2)dx，
∴∫(0,∞)x²e^(-x²/2)dx=1/(2A)，即原式=√(π/2)。
供参考。