Question

初二数学题:已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3

Answer 1

已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h
1
，h
2
，h
3
，△ABC的高为h．若点P在一边BC上，如图①，此时h
3
＝0，可得结论h
1
＋h
2
＋h
3
＝h．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内（如图②），点P在△ABC外（如图③）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h
1
、h
2
，h
3
与h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明．

Answer 2

这个就是根据面积相等来求的，我给你分析一个。其余的类似。三角形ABC的高是AD。
1；连接AP。三角形ABC的面积是AD*BC/2。
三角形ABC的面积还可以看成是三角形ABP与三角形ACP的面积和的。有三角形ABC的面积是
AB*DP/2+AC*PE/2=AD*BC/2。又AC=AB，所以有PE+PD=AD。
2；就是将三角形ABC分成了三个面积的和，
AN（三角形ABC的高）=PD+PE+PF
3；稍微有了一点变化，是AN（三角形ABC的高）=PE+PD-PF
原因是三角形BCP与三角形ABC的和=三角形PAB和三角形PAC的和，他们的底是相等的，就出了高之间的关系了

Answer 3

(1)当P为△ABC内一点时
连接P与各顶点
得△PAB,△PAC,△PBC.
此3个△的面积和等于△ABC的面积;
而△PAB=1/2*a*h1
△PAC=1/2*a*h2
△PBC=1/2*a*h3
△ABC=1/2*a*h,
又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即
1/2*a*h1+1/2*a*h2+1/2*a*h3=1/2*a*h;
化简,得:h1+h2+h3=h.
(2)当P为△ABC外一点时,
方法同上,可得:h1+h2+h3>h.
也可以分别讨论点P的具体位置(例如:AB的一侧或AB的延长线上等等),根据△的面积关系,可得出具体的数量关系(例如:h1+h2-h3=h等等)