证明:若单调数列an含有一个收敛子列,则an收敛.
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不妨设这个数单增，即a1<a2...<an
设这个子列为
bn1
bn2
....bnk....
设k→∞时，limbnk→b
且
bnk<=b
由于是子列，必然有bnk的每个下标nk>=k
所以有
b>=bnk>=ank>ak
所以数列ak是一个单增有上界的数列，所以收敛。
进一步还可以说明
ak→b
设这个子列为
bn1
bn2
....bnk....
设k→∞时，limbnk→b
且
bnk<=b
由于是子列，必然有bnk的每个下标nk>=k
所以有
b>=bnk>=ank>ak
所以数列ak是一个单增有上界的数列，所以收敛。
进一步还可以说明
ak→b
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