Question

数学高二定积分问题高等数学

1求下列定积分 2我还想知道：那个我在预习，因为有的题不会做所以去网上看了不定积分的第一换元法凑微分法第二换元法，这些能在定积分里用吗？谢谢大家~

Answer 1

以下过程中，∫<a,b>f(x)dx表示x的上限为a、下限为b
∫<-1，-2>1/(11+5x)³dx
=[∫<-1，-2>1/(11+5x)³d(11+5x)]/5
=[-1/2(11+5x)²|<-1，-2>]/5
=[-1/2(11-5)²+1/2(11-10)²]/5
=7/72
∫<1，0>x²√(1-x²)dx
令x=sint，dx=dsint=costdt，t的上下限为<π/2，0>
∫<1，0>x²√(1-x²)dx
=∫<π/2，0>sin²tcost√(1-sin²t)dt
=∫<π/2，0>sin²tcost√cos²tdt
=∫<π/2，0>sin²tcos²tdt
=[∫<π/2，0>sin²(2t)dt]/4
=[∫<π/2，0>1/2-cos(4t)/2dt]/4
=[(∫<π/2，0>dt)/2-∫<π/2，0>cos(4t)/8d(4t)]/4
={[t/2-sin(4t)/8|<π/2，0>]}/4
=[π/4-sin(2π)/8-0]/4
=π/16
计算定积分即是在求出不定积分之后再求其上下限之差，凑微分法和第二换元法当然都是可以用的，只是在做三角替换时，要改变原来的积分上下限