Question

在数列{an}中，a2=14，且（n-an）an+1=（n-...

在数列{an}中，a2=14，且（n-an）an+1=（n-1）an（n∈N*）． （Ⅰ）求a1，a3，a4； （Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）当n=1时，∵a2=14，∴解得a1=1，
当n≥2时，an+1=(n-1)ann-an，得a3=17，a4=110． …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想：an=13n-2（n∈N*）．…（4分）
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当n=1或2时，猜想显然成立；
（2）假设当n=k（k∈N*且k≥2）时猜想成立，即ak=13k-2，
那么当n=k+1时，ak+1=(k-1)akk-ak=(k-1)•13k-2k-13k-2=13(k+1)-2，
所以，n=k+1时猜想也成立．
根据（1）和（2），可知猜想对任意的n∈N*都成立．…（7分）