Question

求解. sin^-1 (sin (9π/8) )

sin^-1 (sin (9π/8) ) 答案是 -π/8 不知道怎么做啊。。。

Answer 1

如果f(x)的值域与f^-1(x)的定义域相同，f(x)的定义域与f^-1(x)的值域相同，那么f^-1(f(x))=x这是显而易见的。
现在用这个解题，sin^-1(x)的定义域是[-1，1],值域是[-π/2，π/2]，sinx定义域是R值域是[-1,1],根据前面说法我们可以根据周期以及对称性把sinx的定义域缩小到[-π/2，π/2]，这样就可以按f^-1(f(x))=x得到结果，但9π/8不在[-π/2，π/2]内，于是我们按对称性以π/2为对称轴有sin(9π/8)=sin(-π/8)，这样原式就有sin^-1(sin(9π/8))=sin^-1(sin(-π/8)),这样答案显而易见就是-π/8.
因为：
（1）sinx是单值函数（一个x对应一个sinx）；（2）sin^-1(x)不具有周期性且为单调函数。
所以结果是唯一的。