Question

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值，且函数y=f...

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值，且函数y=f（x）的图象经过点（1，0）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设A、B为函数y=f（x）图象上任意相异的两个点，试判定直线AB和直线4x+y-3=0的位置关系并说明理由； （3）设函数g（x）=x2+mx+6，若对任意t∈[-2，2]且x∈[-2，2]，f（t）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值
∴f′(0)=0f′(2)=0即b=03×4+4a+b=0
∴b=0，a=-3
又∵f（1）=0，∴1-3+c=0
故c=2，从而f（x）=x3-3x2+2
（2）直线AB和直线4x+y-3=0总相交．
∵f'（x）=3x2-6x=3（x-1）2-3≥-3，由导数的几何意义可知，直线AB的斜率k≥-3，
而直线4x+y-3=0的斜率为-4，
所以两条直线相交．
（3）∵f'（x）=3x2-6x=3x（x-2），
∴f（x）在（-2，0]递增，在（0，2）递减，
∴f（x）在x=0处有最大值2，
所以命题转化为g（x）≥2对x∈[-2，2]恒成立，即x2+mx+4≥0对x∈[-2，2]恒成立，
设h（x）=x2+mx+4则有-m2＜-2h(-2)=-2m+8≥0或-2≤-m2≤2h(-m2)=4-m24≥0或-m2＞2h(2)=2m+8≥0
解得-4≤m≤4．