Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*).(Ⅰ)证明数列{...

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*). (Ⅰ)证明数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若bn=n(an+1)2，求数列{bn}的前n项和Sn.

Answer 1

解答:(I)证明:∵数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)，∴an+1+1=2(an+1)，
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.
∴an+1=2×2n-1=2n，
∴an=2n-1.
(II)解:由(I)可知:bn=
n•2n
2
=n•2n-1.
∴Sn=1×20+2×21+3×22+…+(n-1)•2n-2+n•2n-1，
2Sn=1×2+2×22+…+(n-1)•2n-1+n•2n，
∴-Sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n=
2n-1
2-1
-n•2n=2n-1-n•2n=(1-n)•2n-1.
∴Sn=(n-1)•2n+1.