Question

如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数。

如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数。

Answer 1

解：

将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ

因为△BAP≌△BCQ

所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC

因为四边形DCBA是正方形

所以∠CBA＝90°

所以∠ABP＋∠CBP＝90°

所以∠CBQ＋∠CBP＝90°

即∠PBQ＝90°

所以△BPQ是等腰直角三角形

所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45°

因为PA=1，PB=2，PC=3

所以PQ＝2√2，CQ＝1

所以CP^2＝9，PQ^2＋CQ^2＝8＋K＝9

所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2

所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°

所以∠BQC＝90°＋45°＝135°

所以∠BPA＝∠BQC＝135°

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Answer 2

∠APB=135度。
将三角形APB绕B点旋转90度至三角形CP'B，连接PP'，则三角形PBP'是等腰直角三角形，所以∠PP'B45度，B=2倍的根号2。CP'=1，PC=3，所以在三角形PCP'中有PC^2=P'P^2+P'C^2,所以三角形PCP'是直角三角形，且∠PP'C=90度，
所以∠BP'C=135度，所以∠APB= ∠BP'C=135 度

Answer 3

假设正方形的边长为a，则在三角形APB中，a/sinAPB=1/sinABP=1/cosABC
在三角形PBC中，9=4+a^2-4acosPBC,所以cosPBC=(a^2-5)/4a
将cosPBC=(a^2-5)/4a带入a/sinAPB=1/cosABC有:
sinAPB=(a^2-5)/4
所以APB=arcsin(a^2-5)/4

Answer 4

135度