Question

大一数学极限题

每一步后面写上为什么这么做，还有为什么加法或减法不能用等价无穷小。别用洛必达，刚学完极限看不懂。

Answer 1

1、
解：
当x→∞时，sin(1/x)
+
cos(3/√x)→1;
指数2x→∞，因此该极限为1^∞
型极限，应按照该类型极限的求解思路，先将底数中分解出1+0(x)的形式,其中0(x)是一个关于x的函数，满足(x→0)
时0(x)的极限为0，然后将极限化为lim
(1+0(x))^[(1/0(x)
*f(x)]形式，进一步化为lim
{(1+0(x))^[1/0(x)]}^f(x)的形式，根据重要极限(x→0)lim
(1+x)^(1/x)
=e,
原极限化为(x→0)lime^f(x)的形式，再求解
f(x)的极限就可以解出整体极限值了。
当x→∞时，1/x
→0，令y=1/x，原式化为：
原式=
(y→0)lim[
sin(y)+cos(3√y)]^(2/y)
=
(y→0)lim[
sin(y)+cos(3√y)]^(2/y)
=
(y→0)lim[1+(
sin(y)+cos(3√y)-1)]^(2/y)
//下一步化为(x→0)lim
(1+x)^(1/x)形式
=
(y→0)lim[1+(
sin(y)+cos(3√y)-1)]^[(1/(
sin(y)+cos(3√y)-1))*(2(
sin(y)+cos(3√y)-1)/y)
=
(y→0)lim{[1+(
sin(y)+cos(3√y)-1)]^[1/(
sin(y)+cos(3√y)-1)]}^[2siny/y
-2(1-cos(3√y))/y]
利用半角公式：1-cos2x
=
2sin²x,
有
2(1-cos(3√y))/y
=
4
sin²(3√y/2)/y
=
4[sin(3/2*√y)/(
3/2*√y)]²
*9/4
=
9[sin(3/2*√y)/(
3/2*√y)]²
因此，原式=
(y→0)lim[
sin(y)+cos(3√y)]^(2/y)
=
(y→0)lim[
sin(y)+cos(3√y)]^(2/y)
=
(y→0)lim[1+(
sin(y)+cos(3√y)-1)]^(2/y)
//下一步化为(x→0)lim
(1+x)^(1/x)形式
=
(y→0)lim[1+(
sin(y)+cos(3√y)-1)]^[(1/(
sin(y)+cos(3√y)-1))*(2(
sin(y)+cos(3√y)-1)/y)
=
(y→0)lim{[1+(
sin(y)+cos(3√y)-1)]^[1/(
sin(y)+cos(3√y)-1)]}^{2siny/y
-9[sin(3/2*√y)/(
3/2*√y)]²}
=
e^(2-9)
=
e^(-7)
2、
思路同1，先化为1^∞的标准形式(x→0)lim
(1+x)^[(1/x)*f(x)]形式，再求解指数部分的极限
原式=
(x→0)lim[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]^(1/x)
=
(x→0)lim[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]^
[3/(a^x+b^x+c^x-3)
*
(a^x+b^x+c^x-3)/(3x)]
=
(x→0)lim{[1+(a^x+b^x+c^x-3)/3]^
[3/(a^x+b^x+c^x-3)]}^[(a^x+b^x+c^x-3)/(3x)]
=
(x→0)lim
e^{1/3*
[(a^x-1)/(3x)+(b^x-1)/(3x)+(c^x-1)/(3x)]}
由于
(x→0)lim(a^x-1)/x
=
(x→0)lim[e^(x*lna)-1)]/x
我们知道
x→0时，e^x
-1
的等价无穷小为x，因此e^(x*lna)-1等价无穷小为x*lna
因此(x→0)lim(a^x-1)/x
=
(x→0)lim[e^(x*lna)-1)]/x
=
(x→0)lim[e^(x*lna)-1)]/(x*lna)
*lna
=
lna
原式
=
(x→0)lim
e^{1/3*
[(a^x-1)/(3x)+(b^x-1)/(3x)+(c^x-1)/(3x)]}
=
e^[1/3
*(lna+lnb+lnc)]
=
∛(abc)