Question

在反比例函数中哪个点离原点最近，请说明？

Answer 1

反比例函数是指函数形式为 $y = \frac{a}{x}$ 的函数，其中 $a$ 是一个非零常数。
要找到这个函数中哪个点离原点最近，可以利用距离公式 $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ 来计算每个点到原点的距离，并比较它们的大小。
因为该函数具有对称性，即当 $x$ 增大时 $y$ 减小，所以可以只考虑 $x > 0$ 的情况。此时，函数图像在第二象限和第四象限，也就是说所有的点都在原点的左侧或下侧。
又因为离原点最近的点一定在函数的图像上，所以可以将该问题转化为求函数图像与原点之间的最短距离。容易发现，任何一个点到原点的线段与横轴和纵轴所夹成的角度都是固定的，因此可以利用三角函数来描述这个距离。
具体而言，假设有点 $(x, y)$ 在第二象限，则该点到原点的距离为$d = \sqrt{x^2 + y^2}$。此时，我们需要找到一个角度 $\theta$，使得 $\cos\theta = \frac{x}{d}$ 和 $\sin\theta = \frac{y}{d}$，并且满足 $\theta$ 的值在 $[0, \pi/2]$ 范围内。因此，$\theta$ 可以表示为 $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$。
现在我们需要找到一个使 $d$ 最小的点，也就是使 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 最小的点。由于 $a$ 是一个非零常数，所以 $y = \frac{a}{x}$ 的解析式可以表示为 $x = \frac{a}{y}$。将其代入到 $\theta = \arctan(\frac{y}{x})$ 中，得到 $\theta = \arctan(\frac{y^2}{a})$。因此，我们只需要最小化 $\sqrt{x^2+y^2}$，也就是最小化 $x^2+y^2=\frac{a^2}{y^2} + y^2$。
对该式求导，并令导数等于零，得到：
$$\frac{d}{dy}\left(\frac{a^2}{y^2} + y^2\right) = -\frac{2a^2}{y^3} + 2y = 0$$
解出 $y = a/\sqrt{2}$，代入到 $x = a/y$ 中，得到 $x = a\sqrt{2}$。因此，函数图像上最靠近原点的点是 $(a\sqrt{2}, \frac{a}{a\sqrt{2}}) = (\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ 或 $(-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$。这两个点到原点的距离相等，都是 $\sqrt{2}$。因此，这两个点都离原点最近。

Answer 2

在反比例函数 y=k/x 中，当 x>0 时，y>0，所以离原点最近的点应该是第一象限的点。由于反比例函数 y=k/x 的图象是一条经过 (1,k) 点，并且渐近于 x 轴和 y 轴的两条渐近线所夹成的区域中的所有点。因此，在第一象限中，距离原点最近的点为 (1,k) 点，其中 k 是反比例函数的常数。