Question

高数题 求解答利用单调有界准则证明数列收敛

利用单调有界准则证明

Answer 1

假设数列收敛于x，设Xn表示第n项，则X(n+1)=根号(3+x(n))，两边同取极限得到x=根号(3+x)
x^2-x-3=0, x=(1+根号13)/2
现在用数学归纳法证明该数列单调上升且有上界x
a)x(1)=根号3<x， x(2)= 根号(3+根号3) >根号3=x(1)，

b) 如果对n=k而言，x> x(k)>x(k-1)
则对n=k+1时，有x(k+1)=根号(x(k)+3) > 根号(x+3)=x>x(k)
所以数列单调上升且有上届，收敛