Question

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=2,0≤x<=0,0≤y≤x,=0,其他 求:(1)E(X+Y)？

如图，有两个题目，麻烦写一下解题过程，谢谢

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Answer 1

详细过程如下，
第1小题，∵E(Xi)=μ，∴E(Y)=E[(1/n)∑Xi]=(1/n)∑E(Xi)=(1/n)(nμ)=μ。
第2小题，f(x,y)的有效域应是“D={(x,y)丨0≤x≤1,0≤y≤x}”。
∴(1)，E(X+Y)=∫(0,1)dx∫(0,x)(x+y)f(x,y)dy=∫(0,1)3x²dx=1。
(2)，E(XY)=∫(0,1)dx∫(0,x)xyf(x,y)dy=∫(0,1)x³dx=1/4。
(3)，∵x+y=1与y=x的交点为(1/2,1/2)。P(X+Y≤1)=∫(0,1/2)dy∫(y,1-y)f(x,y)dy=2∫(0,1/2)（1-2y)dy=1/2。