Question

x服从标准正态分布，Y=X^2，求E(Y) D(Y) E(e^x)

答案上是这么写的，求详细过程

Answer 1

图片中的解法是求出“Y=X²”的概率密度函数f(y)=[1/√(2πy)]e^(-y/2)，y>0；f(y)=0,y为其它。
∴E(Y)=∫(0,∞)yf(y)dy=∫(0,∞)y[1/√(2πy)]e^(-y/2)dy【令y=2t、利用伽玛函数Γ(α)的性质】=1。
同理，E(Y²)=∫(0,∞)y²f(y)dy=∫(0,∞)y²[1/√(2πy)]e^(-y/2)dy【令y=2t、利用伽玛函数Γ(α)的性质】=3。∴D(Y)=E(Y²)-[E(Y)]²=2。
E(e^x)=∫(-∞,∞)(e^x)f(x)dx=[[1/√(2π)]∫(-∞,∞)e^(x-x²/2)dx=[[1/√(2π)]∫(-∞,∞)e^[-(x-1)²/2+1/2)dx=[e^(1/2)][[1/√(2π)]∫(-∞,∞)e^[-(x-1)²/2)dx=e^(1/2)。

追问

能麻烦详细讲解一下E(Y^2)的解答么，主要是利用伽马函数解出答案的详细过程，主要是
算出(2/√π）∫(0,∞)t^(3/2)e^(-t)dt之后不知道该怎么算了

追答

详细过程是，E(Y²)=∫(0,∞)y²f(y)dy=∫(0,∞)y²[1/√(2πy)]e^(-y/2)dy。
令y=2t。E(Y²)=[4/√π]∫(0,∞)[t^(3/2)]e^(-t)dt=[4/√π]Γ(5/2)【按伽玛函数的定义而得】。
利用伽玛函数Γ(α)的性质及Γ(1/2)=√π。∴Γ(5/2)=Γ(1+3/2)=(3/2)Γ(3/2)=(3/2)Γ(1+1/2)=(3/4)Γ(1/2)=(3/4)√π。
∴E(Y²)=[4/√π]* (3/4)√π=3。

追问

谢谢大佬，懂了