Question

几何的形成历史

Answer 1

几何学的发展大致经历了四个基本阶段.
1、实验几何的形成和发展
几何学最早产生于对天空星体形状、排列位置的观察,产生于丈量土地、测量容积、制造器皿与绘制图形等实践活动的需要,人们在观察、实践、实验的基础上积累了丰富的几何经验,形成了一批粗略的概念,反映了某些经验事实之间的联系,形成了实验几何.我国古代、古埃及、古印度、巴比伦所研究的几何,大体上就是实验几何的内容.
例如,我国古代很早就发现了勾股定理和简易测量知识,《墨经》中载有“圜（圆）,一中同长也”,“平（平行）,同高也”,古印度人认为“圆面积等于一个矩形的面积,而该矩形的底等于半个圆周,矩形的高等于圆的半径”等等,都属于实验几何学的范畴.
2、理论几何的形成和发展
随着古埃及、希腊之间贸易与文化的交流,埃及的几何知识逐渐传入古希腊.古希腊许多数学家,如泰勒斯（Thales）、毕达哥拉斯（Pythagoras）、柏拉图（Plato）、欧几里德（Euclid）等人都对几何学的研究作出了重大贡献.特别是柏拉图把逻辑学的思想方法引入几何学,确立缜密的定义和明晰的公理作为几何学的基础,而后欧几里德在前人已有几何知识的基础上,按照严密的逻辑系统编写的《几何原本》十三卷,奠定了理论几何（又称推理几何、演绎几何、公理几何、欧氏几何等）的基础,成为历史上久负盛名的巨著.
《几何原本》尽管存在公理的不完整,论证有时求助于直观等缺陷,但它集古代数学之大成,论证严密,影响深远,所运用的公理化方法对以后数学的发展指出了方向,以至成为整个人类文明发展史上的里程碑,全人类文化遗产中的瑰宝.
3、解析几何的产生与发展
公元3世纪,《几何原本》的出现,为理论几何奠定了基础.与此同时,人们对圆锥曲线也作了一定研究,发现了圆锥曲线的许多性质.但在后来较长时间里,封建社会中的神学占有统治地位,科学得不到应有的重视.直到15、16世纪欧洲资本主义开始发展起来,随着生产实际的需要,自然科学才得到迅速发展.法国笛卡尔（Descartes）在研究中发现,欧氏几何过分依赖于图形,而传统的代数又完全受公式、法则所约束,他们认为传统的研究圆锥曲线的方法,只重视几何方面,而忽略代数方面,竭力主张将几何、代数结合起来取长补短,认为这是促进数学发展的一个新的途径.
在这样的思想指导下,笛卡尔提出了平面坐标系的概念,实现了点与数对的对应,将圆锥曲线用含有两面三刀个求知数的方程来表示,并且形成了一系列全新的理论与方法,解析几何就这样产生了.
解析几何学的出现,大大拓广了几何学的研究内容,并且促进了几何学的进一步发展.18、19世纪,由于工程、力学和大地测量等方面的需要,又进一步产生了画法几何、射影几何、仿射几何和微分几何等几何学的分支.
4、现代几何的产生与发展
在初等几何与解析几何的发展过程中,人们不断发现《几何原本》在逻辑上不够严密之处,并不断地充实一些公理,特别是在尝试用其他公理、公设证明第五公设“一条直线与另外两条直线相交,同侧的内角和小于两直角时,这两条直线就在这一侧相交”的失败,促使人们重新考察几何学的逻辑基础,并取得了两方面的突出研究成果.
一方面,从改变几何的公理系统出发,即用和欧氏几何第五公设相矛盾的命题来代替第五公设,从而导致几何学研究对象的根本突破.俄罗斯数学家罗巴切夫斯基用“在同一平面内,过直线外一点可作两条直线平行于已知直线”代替第五公设,由此导出了一系列新结论,如“三角形内角和小于两直角”、“不存在相似而不全等的三角形”等等,后人称为罗氏几何学（又称双曲几何学）.德国数学家黎曼从另一角度,“在同一平面内,过直线外任一点不存在直线平行于已知直线”代替第五公设,同样导致了一系列新理论,如“三角形内角和大于两直角”、“所成三角形与球面三角形有相同面积公式”等,又得到另一种不同的几何学,后人称为黎氏几何学（又称椭圆几何学）.习惯上,人们将罗氏几何、黎氏几何统称为非欧几何学.将欧氏几何（又称抛物几何学）、罗氏几何的公共部分统称为绝对几何学.
另一方面,人们在对欧氏几何公理系统的严格分析中,形成了公理法,并由德国数学家希尔伯特在他所著《几何基础》中完善地建立起严格的公理体系,通常称为希尔伯特公理体系,希尔伯特公理体系是完备的,即用纯逻辑推理的方法,定能推演出系统严密的欧氏几何学.但如果根据该公理体系,逐步推演出欧氏几何中那些熟知的内容,却是一件相当繁琐的工作.