Question

求ln(1+x)/(x*(1+x^2))在区间0,1的定积分

Answer 1

令x=tana，x∈[0，1]，所以a∈[0°，45°]

∫ln(1+x)/(1+x^2)dx

=∫ln(1+tana)/(seca)^2dtana

=∫ln(1+tana)da

注意到ln(1+tana)+ln(1+tan(π/4-a))

=ln(1+tana+tan(π/4-a)+tanatan(π/4-a))

=ln(1+tanatan(π/4-a)+tan(a+π/4-a)(1-tanatan(π/4-a))

=ln2

又因为∫ln(1+tana)da=∫ln(1+tan(π/4-a))da (π/4-a代换a)

所以∫ln(1+tana)da=1/2(∫ln(1+tana)da+∫ln(1+tan(π/4-a))da)

=1/2∫(ln(1+tana)+ln(1+tan(π/4-a))da

=1/2∫ln2da

=ln2*a/2(a在0到π/4)

=ln2*π/8

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C