Question

线性代数 特征值与行列式的关系

Answer 1

如果把矩阵看作是运动，对于运动而言，最重要的当然就是运动的速度和方向，那么特征值就是运动的速度；特征向量就是运动的方向。

既然运动最重要的两方面都被描述了，特征值、特征向量自然可以称为运动（即矩阵）的特征。

注意，由于矩阵是数学概念，非常抽象，所以上面所谓的运动、运动的速度、运动的方向都是广义的，在现实不同的应用中有不同的指代。

一般来说，矩阵可以看作某种运动，而二维向量可以看作平面上的一个点（或者说一个箭头）。对于点我们是可以观察的，但是运动我们是不能直接观察的。

就好像，跑步这个动作，不附加到具体的某个事物上是观察不到的，只能观察到：人跑步、猪跑步、老虎跑步，然后从中总结出跑步的特点。

要观察矩阵所代表的运动，需要把它附加到向量上才观察的出来；反复运用矩阵乘法，矩阵所代表的运动的最明显的特征，即速度最大的方向，就由最大特征值对应的特征向量展现了出来。

扩展资料：

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν＝λBν。

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ可以通过求解方程（A－λB）ν＝0，得到det（A－λB）＝0（其中det即行列式）构成形如A－λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛“。

如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显。

Answer 2

在线性代数中，特征值和行列式是两个核心概念，它们之间存在一定的关系。简单地说，行列式可以通过特征值来计算。具体地说，设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $\\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots, \\lambda_n$，则 $A$ 的行列式可以表示为：$$\\det(A) = \\lambda_1\\lambda_2\\cdots\\lambda_n$$这个公式称为矩阵特征值与行列式的关系式，也是行列式的重要性质之一。这个关系式不仅可以用于计算行列式，还可以用于求矩阵的逆、解线性方程组等问题。例如，如果矩阵的特征值全都不为零，则可以通过上述关系式求出其逆矩阵；如果线性方程组的系数矩阵的行列式为非零数，则可以直接解出该方程组的解。需要注意的是，这个关系式只适用于方阵，且矩阵的特征值和行列式都是矩阵本身的属性，与其大小、形状等无关。