Question

1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的8位数,能被11整除的有多少个?

Answer 1

能被11整除的数有一个特征：
其偶数位数之和与奇数位数之和相等,或者之差为11的倍数.
如：9031的奇位数之和为9+3=12；偶位数之和为0+1=1；12-1=11；因此能被11整除.若差相等,也能被11整除.如8943,9+3=12,8+4=12,12-12=0.
知道这个特征后,此题便有了思路.
首先是相等的情况：因为1+8=2+7=3+6=4+5=9,因此18、27、36、45便成了奇数偶数位数的排列组合,如奇数有1则必有8,则偶数有3则必有6,等等.
按照同组数字顺序放入8个空位,则有,第一个数有8个位置可放,与其和为9的数则只有3个位置可放,再下一个数有两种情况：
1、与前两个数同奇偶位.
2、与前两个数异奇偶位.
最后可得：
共有8×3×（2×1×4×3×2×1＋4×3×4×1×2×1）＝24×（48＋96）＝3456种
奇偶位数之和的差为11的倍数时：
因为此8个数的和为36,满足此情况的奇偶数位数之和的差只可能为：29－7＝22；
而要四个数之和为7,即便是最小的四个数1234也不能满足,因此这种情况不存在.
所以最后结果就是3456种.