Question

1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的8位数，能被11整除的有多少个？

Answer 1

能被11整除的数有一个特征：
其偶数位数之和与奇数位数之和相等，或者之差为11的倍数。
如：9031的奇位数之和为9+3=12；偶位数之和为0+1=1；12-1=11；因此能被11整除。若差相等，也能被11整除。如8943，9+3=12,8+4=12,12-12=0。

知道这个特征后，此题便有了思路。
首先是相等的情况：因为1+8=2+7=3+6=4+5=9，因此18、27、36、45便成了奇数偶数位数的排列组合，如奇数有1则必有8，则偶数有3则必有6，等等。
按照同组数字顺序放入8个空位，则有，第一个数有8个位置可放，与其和为9的数则只有3个位置可放，再下一个数有两种情况：
1、与前两个数同奇偶位。
2、与前两个数异奇偶位。
最后可得：
共有8×3×（2×1×4×3×2×1＋4×3×4×1×2×1）＝24×（48＋96）＝3456种

奇偶位数之和的差为11的倍数时：
因为此8个数的和为36，满足此情况的奇偶数位数之和的差只可能为：29－7＝22；
而要四个数之和为7，即便是最小的四个数1234也不能满足，因此这种情况不存在。

所以最后结果就是3456种。

Answer 2

整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和,如果是11的倍数这数就是11的倍数,不然就不是11的倍数.
偶(或奇)数位的和最大的是5+6+7+8 = 26
最小的是1+2+3+4 = 10
相减后要能被11整除，只可能是11或0
4个数字-4个数字，根据奇数-偶数或偶数-奇数才可能得奇数很容易推导出不可能是11
所以只可能是0，也就是说偶数位上的数字之和等于奇数位上的数字之和。
根据 1+2+3+4+5+6+7+8 = 36 得出奇数位上与偶数位上的和都是18
能和8一组的只能是:
8,7,2,1/8,6,3,1/8,5,3,2这三组，当然余下的就是另一组了。
8,7,2,1在偶数位上的个数有：24 * 24 = 576
8,7,2,1在奇数位上的个数有：24 * 24 = 576
所以能被11整除的数总共有: (576 + 576) * 3 = 3456个。