Question

证明不等式:2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤ √(a 2+ b2)/2 (a,b∈R) (a,b∈R+)

Answer 1

√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
　　（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。
　　EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
　　如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么
　　E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。
　　如果E2F2分梯形的中位线，那么
　　E2F2=(a+b)/2。
　　如果E3F3分梯形为两相似图形，那么
　　E3F3=√(ab)。
　　如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么
　　E4F4=2/(1/a+1/b)。
　　从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。