Question

已 知 x^2 + y^2 - xy = 1 求x+ y 最 大值，怎么 求

Answer 1

解：设x＋y＝t，则y＝t-x；
把y＝t-x代入x^2＋y^2-xy＝1中，得关于x的一元二次方程3x^2-3tx＋（t^2-1）＝0；
∴△＝（-3t）^2-4×3×（t^2-1）
＝9t^2-12t^2＋12≥0，t^2≤4
∴-2≤t≤2，即-2≤x＋y≤2
∴x＋y的最大值＝2

Answer 2

这题先化简成（x+y）²-3xy=1
由均值不等式可知xy≤（x+y）²/4
∴（x+y）²-3（x+y）²/4≤（x+y）²-3xy
∵（x+y)²-3xy=1
∴（x+y）²/4≤1
-2≤x+y≤2
∴ x+y最大值为2

另一种好理解的方法
由已知得：x^2-2xy+y^2+xy-1=0
(x+y)^2=1-xy≥0
xy≤1(x=y时取等号）
由已知又可得：x^2+2xy+y^2-3xy-1=0
(x+y)^2=1+3xy≤4
-2≤x+y≤2
x+y最大值为2，此时x=y=1