已 知 x^2 + y^2 - xy = 1 求x+ y 最 大值,怎么 求
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解:设x+y=t,则y=t-x;
把y=t-x代入x^2+y^2-xy=1中,得关于x的一元二次方程3x^2-3tx+(t^2-1)=0;
∴△=(-3t)^2-4×3×(t^2-1)
=9t^2-12t^2+12≥0,t^2≤4
∴-2≤t≤2,即-2≤x+y≤2
∴x+y的最大值=2
把y=t-x代入x^2+y^2-xy=1中,得关于x的一元二次方程3x^2-3tx+(t^2-1)=0;
∴△=(-3t)^2-4×3×(t^2-1)
=9t^2-12t^2+12≥0,t^2≤4
∴-2≤t≤2,即-2≤x+y≤2
∴x+y的最大值=2
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这题先化简成(x+y)²-3xy=1
由均值不等式可知xy≤(x+y)²/4
∴(x+y)²-3(x+y)²/4≤(x+y)²-3xy
∵(x+y)²-3xy=1
∴(x+y)²/4≤1
-2≤x+y≤2
∴ x+y最大值为2
另一种好理解的方法
由已知得:x^2-2xy+y^2+xy-1=0
(x+y)^2=1-xy≥0
xy≤1(x=y时取等号)
由已知又可得:x^2+2xy+y^2-3xy-1=0
(x+y)^2=1+3xy≤4
-2≤x+y≤2
x+y最大值为2,此时x=y=1
由均值不等式可知xy≤(x+y)²/4
∴(x+y)²-3(x+y)²/4≤(x+y)²-3xy
∵(x+y)²-3xy=1
∴(x+y)²/4≤1
-2≤x+y≤2
∴ x+y最大值为2
另一种好理解的方法
由已知得:x^2-2xy+y^2+xy-1=0
(x+y)^2=1-xy≥0
xy≤1(x=y时取等号)
由已知又可得:x^2+2xy+y^2-3xy-1=0
(x+y)^2=1+3xy≤4
-2≤x+y≤2
x+y最大值为2,此时x=y=1
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