Question

怎么证明ln(1+x)与x为等价无穷小量？

Answer 1

既然证明二者为等价无穷小
那么就是x趋于0的时候
二者比值的极限值趋于1
lim(x趋于0) ln(1+x) /x
使用洛必达法则得到
原极限=lim(x趋于0) 1/(1+x)
代入x=0，极限值当然等于1
所以ln(1+x) 和x是等价无穷小

Answer 2

x趋近于零时limln(1+x)/x=limln(1+x)^1/x(把x放到（x+1的幂次上）=lne=1
x趋近于零时lim(1+x)^1/x=e为两个重要极限之一，证明需依靠准则：单调有界数列比有极限。设x(n)=(1+1/n)^n，运用牛顿二项公式可证x(n+1)>x(n)，易知x(n)<3，故x(n)必有极限，人为规定此极限为e=2.718281828459045…通过夹逼准则（n趋近于无穷时，x(n-1)与x(n+1)均趋于e）可以把适用范围推广到函数，令x=1/n即得x趋近于零时lim(1+x)^1/x=e。需要注意的是是先有此重要极限才到导数的概念再有有洛必达法则，故在这里证明不宜使用洛必达法则，计算则可以使用。