Question

关于函数单调性的数学题

在单位正方形内作两个互相外切,同时每一个又与正方形两相邻边相切的圆,求两圆面积和的最大值和最小值.

Answer 1

利用相切找出对角线与半径的关系式[这是关键的一步]。 

解1：

R1+R2+R1√2+R2√2=√2→R2=2/(2+√2)-R1

S=S1+S2=π(R1²+R2²)=π{R1²+[2/(2+√2)-R1]²}=π[2R1²-4R1/(2+√2)+2/(3+2√2)]

这是一条开口向上的抛物线，有极小值[顶点]，又由于半径的限制，也会有最大值。 

解2：[更简单]

R1+R2+R1√2+R2√2=√2→R1+R2=2/(2+√2)

S=S1+S2=π(R1²+R2&sup2)

利用a²+b²+2ab=(a+b)²

以及a²+b²≥2ab

可以得出：a²+b²≥(a+b)²/2

所以，S=S1+S2=π(R1²+R2&sup2)≥π(R1+R2)²/2=π[2/(2+√2)

]²/2=π[2/(3+2√2)]/2=π/(3+2√2)

即：S≥π/(3+2√2) [这是极小值]

又知道取极小值时，R1=R2（这可由a²+b²≥2ab取等号时得出）

所以，最大值必为另一极端状况——一个大内切圆和一个小半内切圆。

结果请看图。

Answer 2

设两圆半径分别为r1, r2
当两圆分别和两组不同的邻边相切时，
可以证明，两圆圆心均在正方形对角线上
所以r1+r2+根号2/2(r1+r2)=1
即r1+r2=根号2/(1+根号2)=2-根号2
S=pir1^2+pir2^2>=pi(r1+r2)^2/2=(3-2根号2)pi
因为r1,r2<=1/2，所以S最大值为(9/2-3根号2)pi

当两圆相切的边有一条公共边时，
r1+r2+根号((r1+r2)^2-(r1-r2)^2)=1，即根号r1+根号r2=1
所以S=pir1^2+pir2^2>=pi(r1+r2)^2/2>=pi((根号r1+根号r2)^2/2)^2/2=pi/8
所以S的最小值为pi/8

Answer 3

设两个圆的半径分别为x,y 两圆面积为s

∵√(2x)+x+√(2y)+y=√2

∴(√2+1)(x+y)=√2

∴x+y=√2/(√2+1)=2-√2

y=2-√2-x

∴s=∏x^2+∏y^2
=∏(x^2+y^2)
=∏[x^2+(2-√2-x)^2]
=∏[2x^2-2(2-√2)x+(6-4√2)]
=∏{2(x-(2-√2)/2]^2+(3-2√2)}

因为当一个圆为正方形内切圆时半径最大，
而另一圆半径最小，
所以函数的定义域为:3/2-√2≤x≤1/2

因为(2-√2)/2∈[3/2-√2,1/2]
∴smin=∏(3-2√2)

smax=3∏(3-2√2)/2

Answer 4

我直接上图了，要过一会才能看见好像。

Answer 5

看图片上的解答.

Answer 6

设两圆半径为R1,R2
R1+R2=sqrt(2)/[1+sqrt(2)]=2-sqrt(2)
3/2-sqrt(2)<=R1<=1/2
3/2-sqrt(2)<=R2<=1/2
S=π(R1^2+R2^2)>=1/2π(R1+R2)^2=[3-2sqrt(2)]π
当R1=1/2,R2=3/2-sqrt(2)时，S最大为[9/2-3sqrt(2)]π