Question

如何计算下面积分∫cos2xdx

Answer 1

定积分∫cos2xdx的详细求解过程如下：

• 使用积分变换：

• 将cos2x的积分看作sin2x的导数，即d(sin2x)/dx = cos2x。

• 换句话说，∫cos2xdx = sin2x + C，其中C为常数。

• 用三角函数关系求解：

• 用一个三角函数关系把cos2x转换为cosx：cos2x = 2cos^2x - 1。

• 进而可以把∫cos2xdx转换为∫(2cos^2x - 1)dx。

• 可以使用微积分技巧把(2cos^2x - 1)dx分解为两个单独的积分：∫(2cos^2x - 1)dx = 2∫cos^2x dx - ∫ dx。

• 求解各个积分：

• 用微积分技巧把cos^2x dx转换为sin x dx：cos^2x = (1 - sin^2x)。

• 进而可以把∫cos^2x dx转换为∫ (1 - sin^2x) dx = x - ∫ sin^2x dx。

• 用微积分技巧把sin^2x dx转换为-1/2cos 2x dx：sin^2x = (1 - cos 2x) / 2。

• 进而可以把∫ sin^2x dx 转换为-1/2 ∫(1 - cos 2x) dx = -x/2 + 1/2 ∫ cos 2x dx。

• 组合每个积分的结果：

• 组合每个积分的结果得到∫cos2xdx = x - x/2 + 1/2 sin 2x + C = x/2 + 1/2 sin 2x + C。

最终的答案就是x/2 + 1/2 sin 2x + C。